Esta es la entrada final de la unidad de polinomios y del curso. En ella hablaremos acerca de las fórmulas para encontrar las raíces de polinomios de grado $3$ y $4$. Para los polinomios de grado $3$, se usa el método de Cardano. La Fórmula de Cardano es una herramienta utilizada para encontrar las soluciones de una ecuación de tercer grado (también conocida como una ecuación cúbica), y se aplica a la solución de un ejercicio práctico. Fue desarrollada por el matemático renacentista italiano Gerolamo Cardano en el siglo XVI.
Contexto Histórico y Desarrollo de la Fórmula de Cardano
Encontrar estas fórmulas tomó mucho tiempo. La resolución de ecuaciones en una variable de primer y segundo grado data desde civilizaciones antiguas tales como Babilonia, Egipto, Grecia, entre otras. Los matemáticos pertenecientes a estas civilizaciones trabajaron problemas de álgebra, en particular la solución de ecuaciones, solamente en casos concretos aplicados a resolver problemas de la vida cotidiana. Según Burton, D. (2011), no fue hasta el Siglo XVI que las ecuaciones comienzan a tratarse de manera abstracta. Se le atribuye al gran matemático francés François Viète (1540-1603), conocido como Vieta, el introducir las consonantes para representar cantidades y vocales conocidas para las incógnitas. Este paso marcó un cambio decisivo, no sólo en la conveniencia de la notación, sino también en la abstracción del pensamiento matemático. El problema de resolver la ecuación de grado 3, en una variable se remonta a la antigüedad, específicamente al problema de la duplicación del cubo, también llamado problema de Delian. Durante varios cientos de años, los matemáticos buscaron una “fórmula cúbica” que pudiera ser usada para resolver la ecuación cúbica de la misma manera que la fórmula cuadrática se utilizó para las ecuaciones cuadráticas.
La solución de las ecuaciones de tercer grado en una variable se debe a cinco matemáticos italianos del siglo XVI: Scipione del Ferro, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano, Ludovico Ferrari y Rafael Bombelli. A principios del siglo XVI, Scipione del Ferro (ca. 1465-1526) fue el primero en descubrir una fórmula general para resolver las ecuaciones cúbicas de la forma $x^3+px=q$, con p>0 y q>0. Sin embargo, no hizo público su descubrimiento. Posteriormente, Niccolò Fontana Tartaglia (1499/1500-1557) también descubrió una fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. Fiore, creyendo que Tartaglia no decía la verdad, lo desafió a un concurso público de resolución de problemas, en el que cada uno propondría al otro, 30 problemas que debían resolver al cabo de 50 días. El vencedor sería el que lograra resolver la mayor cantidad de problemas. Girolamo Cardano (1501-1576) fue profesor de matemáticas en las universidades de Milán, Pavía y Bolonia. Cuando se enteró del concurso matemático entre Fiore y Tartaglia, Cardano le rogó a Tartaglia que le compartiera el método de solución de la ecuación cúbica que éste había descubierto, con el fin de incluirlo en su libro Practica Arithmeticae (1539) y comprometiéndose a respetar la autoría de Tartaglia. Tartaglia se negó puesto que él mismo planeaba publicar su propio texto sobre álgebra. Después de mucha insistencia por parte de Cardano, Tartaglia reveló su método de solución, pero haciendo jurar a Cardano que no lo publicaría (Burton, D. 2011). Sin embargo, en 1542, al estudiar los documentos de Scipione del Ferro, Cardano se enteró de que este había sido el primero en obtener la solución de la ecuación cúbica. En el texto, Cardano reconoció la autoría de Tartaglia, y afirmaba que este le había confiado el método para resolver la ecuación cúbica, sin embargo también afirmaba que él mismo había llegado a la solución por sus propios métodos.
En 1545, en su obra Ars Magna, Cardano proporcionó la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación cúbica de una variable $x^3 + px + q = 0$, (p, q ∈ R). Desde entonces, esta fórmula se conoce como la Fórmula de Cardano. Para la ecuación cúbica estándar de una variable $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ (a, b, c, d ∈ R, y a ≠ 0), se puede utilizar el método de la Fórmula de Cardano, publicado en 1545 por el erudito italiano Gerolamo Cardano. La idea general es eliminar el término cuadrático mediante un cambio de variable y luego resolver usando la Fórmula de Cardano. Vale la pena mencionar que no es necesario aplicar la fórmula de manera mecánica; seguir paso a paso el proceso de derivación de la fórmula de las raíces puede ser más fácil y proporcionar una comprensión más clara que usar la fórmula directamente.
Deducción Paso a Paso de la Fórmula de Cardano
Para la ecuación cúbica de una variable $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, el proceso de deducción de la fórmula de Cardano se realiza siguiendo varios pasos:
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Paso 1: Convertir a la forma mónica
El primer paso en la aplicación de la fórmula de Cardano es reducir la ecuación cúbica a una forma especial llamada forma canónica, donde se elimina el término cuadrático dividiendo toda la ecuación por el coeficiente principal “a”.
Primero, se divide la ecuación entre $a$ para obtener la forma estándar:$$x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0$$Donde,$$x^3 + Px^2 + Qx + R = 0$$
Paso 2: Sustitución de variable para eliminar el término cuadrático
Para simplificar aún más, eliminamos el término $x^2$ mediante una sustitución de variable. Sea:$$x = y - P/3$$El objetivo aquí es que el coeficiente del término cuadrático en la ecuación transformada sea cero. Sustituyendo $x$ en la ecuación original:$$(y - P/3)^3 + P(y - P/3)^2 + Q(y - P/3) + R = 0$$Al desarrollar se obtiene:$$y^3 + \left(Q - \frac{P^2}{3}\right)y + \left(R - \frac{PQ}{3} + \frac{2P^3}{27}\right) = 0$$De esta manera, hemos transformado la ecuación original en una ecuación cúbica estándar sin término cuadrático.Donde:$$p = Q - P^2/3$$$$q = R - PQ/3 + 2P^3/27$$
Paso 3: Resolución utilizando la Fórmula de Cardano
Ahora, necesitamos resolver esta ecuación cúbica sin término cuadrático:$$y^3 + py + q = 0$$La idea del método de Cardano es suponer que la solución puede expresarse como la suma de dos variables, es decir:$$y = u + v$$Sustituyendo en la ecuación:$$(u+v)^3 + p(u+v) + q = 0$$Desarrollando el cubo:$$u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + p(u+v) + q = 0$$Por lo tanto:$$u^3 + v^3 + (3uv + p)(u+v) + q = 0$$Para simplificar, se establecen las condiciones:$$3uv + p = 0$$$$u^3 + v^3 + q = 0$$Es decir:$$uv = -p/3$$$$u^3 + v^3 = -q$$De la primera condición, elevando al cubo ambos lados:$$u^3v^3 = (-p/3)^3$$Combinando esta con la segunda condición, $u^3$ y $v^3$ pueden verse como las raíces de una ecuación cuadrática de la forma $t^2 - (u^3+v^3)t + u^3v^3 = 0$.Entonces, $u^3$ y $v^3$ son las raíces de la siguiente ecuación cuadrática:$$t^2 + qt - (p/3)^3 = 0$$Resolviendo esta ecuación cuadrática en $t$, las raíces son:$$t = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + 4(p/3)^3}}{2}$$Sea $t_1$ y $t_2$ estas dos raíces. Entonces, $u^3 = t_1$ y $v^3 = t_2$.Por la suposición inicial: $y = u + v$.Sustituyendo $u = \sqrt[3]{t_1}$ y $v = \sqrt[3]{t_2}$ (donde $t_1$ y $t_2$ son las dos raíces de la ecuación cuadrática), se obtiene:$$y = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + 4(p/3)^3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + 4(p/3)^3}}{2}}$$En resumen, la Fórmula de Cardano da la solución de esta ecuación cúbica como:$$y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$$
Paso 4: Volver a la variable original
Dado que, $x = y - P/3$, la raíz final es:$$x = \left(\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}\right) - P/3$$Donde:$$P = b/a$$$$Q = c/a$$$$R = d/a$$$$p = Q - P^2/3$$$$q = R - PQ/3 + 2P^3/27$$Dado que la raíz cúbica de un número real tiene tres valores, se obtienen tres raíces finales (considerando el caso de los números complejos).
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Análisis del Discriminante ($\Delta$)
El discriminante de la ecuación cúbica estándar $y^3 + py + q = 0$ es:$$\Delta = q^2/4 + p^3/27$$Los tres casos del discriminante determinan la naturaleza de las raíces:
- $\Delta > 0$ (una raíz real y dos raíces complejas): Cuando $\Delta > 0$, la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas. Específicamente, la ecuación tiene solo una raíz real; las otras dos raíces son números complejos conjugados que tienen el mismo módulo pero difieren en fase. En este caso, la raíz real se puede obtener mediante la Fórmula de Cardano, mientras que las raíces complejas se obtienen utilizando una rotación en el plano complejo.
- $\Delta = 0$ (tres raíces reales, de las cuales al menos dos son iguales): Cuando $\Delta = 0$, la ecuación tiene tres raíces reales, de las cuales al menos dos son iguales. Además: Si $p = 0$ y $q = 0$, entonces la ecuación tiene tres raíces reales idénticas. Si $p \neq 0$, la ecuación tiene tres raíces reales, de las cuales al menos dos son iguales.
- $\Delta < 0$ (tres raíces reales distintas): Cuando $\Delta < 0$, la ecuación tiene tres raíces reales distintas. Esto significa que todas las soluciones de la ecuación son números reales y diferentes entre sí.
El Casus Irreducibilis y los Números Complejos
En el proceso de resolver ecuaciones cúbicas, se encuentra el llamado casus irreducibilis. Esta situación ocurre cuando el discriminante es negativo ($\Delta < 0$). En este caso, aunque las tres raíces de la ecuación son números reales, en la expresión de la Fórmula de Cardano es inevitable calcular la raíz cuadrada de un número negativo, es decir, aparece la unidad imaginaria i. Esto revela el importante papel de los números complejos en la resolución de problemas con números reales.
La Fórmula de Euler es muy útil para manejar potencias y raíces de números complejos, especialmente su representación en coordenadas polares. Cuando es necesario calcular la raíz cúbica de un número complejo, primero se puede expresar en forma polar. Utilizando la Fórmula de Euler y el Teorema de De Moivre, se pueden calcular convenientemente estas raíces cúbicas complejas y, finalmente, demostrar que en el casus irreducibilis, a pesar de la aparición de números complejos en el proceso de cálculo, las tres raíces dadas por la Fórmula de Cardano son en realidad tres números reales distintos. Alternativamente, también se pueden usar funciones trigonométricas (especialmente la fórmula del ángulo triple) para expresar otra forma de las raíces reales en este caso, evitando el manejo directo de raíces de números complejos.
Extensión a Ecuaciones de Grado Superior y la Teoría de Galois
Para los polinomios de grado $4$ se usa el método de Ferrari. Así como el método de Cardano usa la fórmula cuadrática, del mismo modo el método de Ferrari reduce el problema a encontrar soluciones a un polinomio de grado 3. Cuando tenemos polinomios de grados $2$, $3$ y $4$ podemos usar la fórmula cuadrática, el método de Cardano y el método de Ferrari para encontrar una fórmula para las soluciones.
La teoría de Galois es una aplicación profunda de la teoría de grupos al problema de la resolubilidad de ecuaciones algebraicas, propuesta por el matemático francés Évariste Galois en el siglo XIX. Cuando $n \le 4$: su grupo de Galois correspondiente es un grupo soluble, por lo tanto, estas ecuaciones tienen una solución general por radicales. Las conocidas fórmulas para las raíces de ecuaciones cuadráticas, cúbicas (Fórmula de Cardano) y cuárticas (Método de Ferrari) son una prueba evidente. Cuando $n \ge 5$: para una ecuación polinómica general de grado $n$ con una incógnita, su grupo de Galois generalmente no es soluble. Esto lleva a la conclusión del Teorema de Abel-Ruffini: no existe una solución general por radicales para ecuaciones algebraicas generales de grado cinco o superior con una incógnita. Esto significa que, aunque las ecuaciones de tercer y cuarto grado tienen fórmulas de resolución complejas, para ecuaciones de grado superior no es posible encontrar una fórmula universal similar que exprese todas las raíces únicamente mediante operaciones básicas finitas y extracción de raíces con los coeficientes.
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