Bienvenidos nuevamente a un tema fundamental de la Geometría Analítica. Si alguna vez te has preguntado cómo encontrar las coordenadas exactas de un punto que divide a una carretera, un cable o una recta en dos partes proporcionales, estás en el lugar correcto. Hoy no solo aprenderemos la fórmula; entenderemos la lógica detrás de ella. Vamos a desglosar paso a paso la división de un segmento en una razón dada, un concepto que une el álgebra con la geometría.
¿Qué es la división de un segmento en una razón dada?
Imagina que tienes un segmento de recta con dos extremos, P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Si colocamos un tercer punto P(x, y) sobre esa línea, este punto dividirá al segmento original en dos partes. La comparación entre la longitud de la primera parte y la longitud de la segunda parte se llama razón y se denota con la letra r. La razón es el cociente entre la distancia dirigida desde el punto inicial P1 al punto de división P, y la distancia dirigida desde P al punto final P2:
r = P1P / PP2
El signo de la razón
- Si r > 0 (Positiva): El punto P está dentro del segmento P1P2 (División Interna).
- Si r < 0 (Negativa): El punto P está fuera del segmento, en la prolongación de la recta (División Externa).
Obtención de la fórmula: Deducción paso a paso
Para no ser "robots" que solo aplican fórmulas, vamos a ver de dónde sale. Usaremos el Teorema de Tales (semejanza de triángulos) para demostrarlo. Si proyectamos las coordenadas sobre los ejes x e y, se forman triángulos semejantes. Por la propiedad de proporcionalidad, la razón entre las distancias inclinadas es igual a la razón entre sus proyecciones horizontales y verticales. Centrémonos en el eje x (abscisas):
r = (x - x1) / (x2 - x)
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Nuestro objetivo es encontrar x. Procedemos con el despeje:
- Pasamos el denominador multiplicando al lado izquierdo: r(x2 - x) = x - x1
- Desarrollamos la multiplicación: rx2 - rx = x - x1
- Agrupamos los términos que tienen x en un lado: rx2 + x1 = x + rx
- Factorizamos x: x1 + rx2 = x(1 + r)
- Finalmente, despejamos x: x = (x1 + rx2) / (1 + r)
De manera análoga, para la coordenada y, el proceso es idéntico, resultando en:
y = (y1 + ry2) / (1 + r)
Resumen de fórmulas
Para calcular las coordenadas P(x, y) que dividen al segmento P1P2 en una razón r, utilizamos:
| Coordenada x | x = (x1 + rx2) / (1 + r) |
| Coordenada y | y = (y1 + ry2) / (1 + r) |
El caso especial: Fórmula del punto medio
Muchos ejercicios te pedirán simplemente el "punto medio". Esto es un caso particular donde el punto P está exactamente a la mitad, por lo tanto, r = 1. Si sustituimos r = 1 en nuestras fórmulas generales, obtenemos un promedio simple:
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xpm = (x1 + x2) / 2
ypm = (y1 + y2) / 2
Ejemplo práctico
En un segmento AB, donde A tiene coordenadas (6, -3) y B tiene (1, 6), hallar las coordenadas del punto P si la razón es 4:
- x = (6 + 4*1) / (1 + 4) = 10 / 5 = 2
- y = (-3 + 4*6) / (1 + 4) = 21 / 5 = 4.25
El punto resultante es P(2, 4.25).
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