Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de los conocidos como Epicicloides e Hipocicloides, que son un tipo de Epi/Hipo Trocoides que a su vez son una clase de las Ruletas. Dentro del amplio grupo de cicloides analizaremos los lugares geométricos generados por un punto de una circunferencia, o dependiente de ella, cuando dicha circunferencia, a la que llamamos generatriz, gira sin deslizar, de forma tangencial, alrededor de otra circunferencia llamada directriz.
Fundamentos de las curvas cíclicas
Nuestro estudio se centra en uno de los tipos de las curvas planas cíclicas llamadas Ruletas. Si la generatriz gira por el exterior de la directriz se genera una Epicicloide, que puede ser: ordinaria, epitrocoide acortada o epitrocoide alargada, según la posición del punto generador respecto a la circunferencia generatriz de la que depende. Análogamente, si la generatriz gira por el interior de la directriz, el lugar geométrico generado es una hipocicloide, que a su vez puede ser: ordinaria, hipotrocoide acortada o hipotrocoide alargada.
Clasificación y parámetros
La geometría de estas curvas depende de la relación entre los radios de los círculos involucrados:
- Epicicloides: La generatriz rueda por el exterior de la directriz.
- Hipocicloides: La generatriz rueda por el interior de la directriz.
- Ecuaciones paramétricas: En ambas escenas se ha puesto especial énfasis en el proceso de elaboración de las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico.
En la figura, se muestra la geometría de la epitrocoide en la cual un círculo de radio b rueda por el exterior de un círculo fijo de radio a. En el caso del spirograph, cada círculo tiene un número entero de dientes: m el anillo fijo y n el círculo móvil. Cuando el cociente R/r es un número natural, la cicloide se completa en la primera vuelta de la generatriz; en cualquier otro caso, es conveniente analizar el cociente anterior para prever el comportamiento de la curva.
Variantes: Hipocicloides acortadas y alargadas
Para poder dibujarlas, debemos partir de la disposición de los puntos de una hipocicloide normal:
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- Hipocicloide acortada: La distancia que se recorta puede ser cualquiera; para facilitar el trazado, te recomendamos que uses una magnitud de fácil manejo.
- Hipocicloide alargada: Es preciso situar los puntos de una hipocicloide normal y determinar la magnitud de alargue del radio de la ruleta, de manera que te permita un dibujo cómodo.
| Tipo de Curva | Relación (R/r) | Descripción |
|---|---|---|
| Deltoide | 3/1 | Generada por un punto en la circunferencia generatriz. |
| Hipotrocoide acortada | Variable | Generada por un punto interior a la circunferencia. |
Los pulsadores R, r y a definen la forma de los lugares geométricos generados. La utilidad que hemos desarrollado permite visualizar una amplia colección de epicicloides y epitrocoides según los valores que asignemos a los deslizadores, lo cual facilita la comprensión de cómo la posición del punto generador altera la trayectoria resultante.
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