Cuando aprendemos matemáticas, hay afirmaciones que se aceptan casi sin protestar… hasta que un día nos detenemos a pensarlas. Una de ellas es esta: cualquier número elevado a cero vale uno. ¿Cómo puede ser que algo elevado a “nada” dé como resultado algo distinto de cero? La respuesta no es un truco ni una decisión arbitraria, sino una consecuencia elegante de las reglas que usamos todos los días sin darnos cuenta. Sí, todo número elevado a cero es 1.
La lógica detrás de la propiedad
Esta propiedad es bastante intuitiva por el simple hecho de que, si observamos que cualquier base va creciendo al elevarla a diferentes potencias, si retrocedemos veremos que cuanto más pequeño sea el exponente, la base disminuirá relativamente. Por ejemplo, si tomamos la base 2:
- 21 = 2
- 22 = 4
- 23 = 8
El valor se duplica a la vez que el exponente va creciendo de a uno. Ahora nos preguntaremos: ¿qué pasaría si disminuyéramos el exponente en una unidad? El valor disminuye a la mitad, por lo que nos resulta muy lógico pensar que 20 = 1.
Demostración mediante las propiedades de las potencias
Otra manera por la que podemos ver la lógica que hay detrás de esta propiedad es observando la siguiente expresión. Cuando a ≠ 0, sabemos que cualquier número dividido por sí mismo es igual a 1, por lo tanto, es cierto que:
an / an = 1
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Además, hemos aprendido que si tenemos una fracción con bases iguales podemos restar los exponentes:
an / an = an-n = a0
Presta atención a que previamente hemos recordado que an / an = 1 y que, acorde a la relación transitiva, nos da: a0 = 1.
Tabla comparativa de propiedades
| Operación | Regla matemática |
|---|---|
| Producto de potencias | an · am = an+m |
| Cociente de potencias | an / am = an-m |
| Exponente cero | a0 = 1 (para a ≠ 0) |
El caso de 00 y la teoría de conjuntos
Hasta hace poco más de dos años tenía la certeza de que 00 era una operación prohibida o indeterminada. Sin embargo, en teoría de conjuntos, si A y B son conjuntos, se define AB como el conjunto de funciones con dominio B y contradominio A. Si τ y μ son números cardinales, entonces se define la exponenciación "τ elevado a la μ" como el cardinal del conjunto τμ.
¿Qué número natural es 00? Pues recordando la definición mencionada antes, 00 es el conjunto de funciones del vacío en el vacío y sólo hay una función del vacío en el vacío; que es precisamente ∅, esto es, 00 = {∅} = 1. Así que no sólo resulta conveniente definir 00 := 1, sino que es un teorema en ZF (Zermelo-Fraenkel) y uno muy sencillo de demostrar.
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Aplicaciones prácticas
Existen contextos donde definir 00 = 1 simplifica los resultados matemáticos:
- Desarrollo de series: En los desarrollos en serie de Taylor o el binomio de Newton, conviene considerar que 00 = 1 para simplificar la expresión de las sumatorias.
- Resolución de ecuaciones: En expresiones como 5x+2 - 25 = 0, al simplificar llegamos a 5x = 1, donde deducimos que x = 0.
- Simplificación de fracciones: Al simplificar 4 · 2 / 23, aplicamos la ley del cociente obteniendo 23-3 = 20 = 1.
La propiedad del exponente cero es simple y fácil ya que, más allá del número o incógnita que haya (a excepción de 00), al elevarlo a 0 dará 1. Sin embargo, como cualquier cosa en la vida, cuando entendemos su lógica se nos hace más fácil recordarlo.
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