La comprensión de las fórmulas para el cálculo del área de los polígonos es un proceso que requiere de tu participación activa. Al comprender un procedimiento también se construye un significado; en este caso, el significado de lo que es el área de los polígonos. Conocerás nuevas técnicas, procedimientos y algoritmos para resolver un problema. Al empezar a ver las áreas de las principales figuras planas, como el rectángulo, el triángulo, el trapecio y el rombo, preferimos perder más tiempo en la deducción de dichas áreas o, cuanto menos, en darles más sentido a las fórmulas. Con este motivo se ha creado un libro interactivo en Geogebra para experimentar con el razonamiento de las fórmulas de las principales figuras planas. La gran mayoría de los interactivos que componen el libro son de creación propia, excepto los tres últimos que son de dos cracks del geogebra: Manuel Sada y de Juan carlos Mora.
Para empezar, observa las figuras. ¿Qué figuras planas las conforman? Toma en cuenta el fondo cuadriculado, el cual indica que cada lado de un cuadrito equivale a una unidad, y el área de cada uno de esos cuadritos es una unidad cuadrada. La cuadrícula tiene 1 cm de lado. ¿En qué unidades está medida el área? ¿Y el perímetro? También puedes calcular el perímetro de los polígonos.
El Área del Rectángulo
Utilizando un deslizador en la posición Rectángulo, puedes dibujar un rectángulo sobre los vértices de la cuadrícula. Puedes establecer centímetros de ancho o altura. Considera un rectángulo que está formado por 7 filas de 5 cuadrados cada una. ¿Cuáles son sus dimensiones? ¿Cuál es el área del rectángulo? Si se desea que otro rectángulo también tenga un área de 24 cm², ¿cuántas filas tiene? ¿Cuáles son sus dimensiones? Es importante que para los polígonos que construyas, se utilicen números enteros. Para calcular su área, ¿qué fórmula podemos utilizar? ¿Qué dimensiones (base y altura) tiene ese rectángulo?
Deducción del Área del Romboide
Ahora, si movemos el deslizador a la posición Romboide, ¿qué figura ha resultado? Podemos observar las dimensiones del romboide. Al utilizar el deslizador Recomponer, ¿qué figura ha resultado? ¿Son sus áreas iguales? Realiza este proceso algunas veces más para observar cómo se transforma y qué dimensiones (base y altura) tiene ese romboide. Por ejemplo, un romboide mide 9 cm de base y 6 cm de altura. ¿Qué fórmula podemos utilizar para calcular su área? Al comparar el área del romboide con la del polígono transformado, ¿son iguales?
El Área del Triángulo
Si posicionamos el deslizador en Triángulo, ¿qué es lo que ha ocurrido? Observa el triángulo del que partimos: ¿son sus dimensiones iguales? ¿Es la mitad? Sabiendo que la fórmula del área de un triángulo es base por altura, todo dividido entre dos. Al mover el deslizador Recomponer a la posición inicial y luego solo Recomponer, podemos ver las dimensiones del triángulo. ¿Qué dimensiones en el triángulo debemos considerar? ¿Qué fórmula podemos utilizar para calcular su área? Para un triángulo que mide 6 cm de base y 4,5 cm de altura, ¿cuál es su área? Puedes repetir este proceso algunas veces más.
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El Área del Trapecio
Al situar el deslizador en la posición Trapecio, ¿qué es lo que ha ocurrido? Observa el trapecio del que partimos: ¿son sus dimensiones iguales? ¿Es el doble o la mitad? Las dimensiones (base y altura) de un triángulo pueden representar esas dimensiones en el trapecio. ¿Qué fórmula podemos utilizar para calcular su área? Si la altura es de 5 cm, ¿cuál es su área? Puedes repetir este proceso algunas veces más.
El Área del Cuadrilátero General
Mueve el deslizador a la posición Cuadrilátero y luego el deslizador Recomponer que tienes en la parte superior. Si conectamos los puntos medios dos a dos, ¿qué nombre recibe esa figura? Observa el área del cuadrilátero del que partimos: ¿son iguales? ¿Es el doble? ¿Es la mitad? Al reiniciar con el deslizador Recomponer a la posición inicial y luego Recomponer, podemos analizar las dimensiones del cuadrilátero. ¿Cuál es el área de un cuadrilátero? Para calcularla, puedes aplicar los conceptos utilizados en los dos apartados anteriores.
Deducción del Área de Polígonos Regulares a partir del Romboide
Ahora, para comprender cómo el romboide nos ayuda a deducir el área de polígonos más complejos, sitúa el deslizador en la posición Polígono regular. Utiliza el deslizador azul para fijar el número de lados en 8, formando así un octógono. ¿Qué es lo que ha ocurrido? ¿Cuántos triángulos han quedado? ¿Cómo son esos triángulos? Se puede calcular el área del octógono sumando el área de cada uno de los triángulos que se han formado. La altura de cada uno de estos triángulos, desde el centro del polígono hasta el punto medio de uno de sus lados, se denomina apotema. ¿Cuánto vale el área del octógono?
Se utilizará la fórmula para calcular el área de un romboide, base por altura, para deducir el área de un polígono regular. Por ejemplo, para un pentágono, se puede resaltar con un color la base del triángulo que se encuentra dentro y asignarle una variable. Tomando en cuenta que se tienen 5 triángulos, la base equivale a 5 L por la altura, que representa a la apotema del polígono. Al comparar el área del romboide con la del polígono, ¿son iguales? ¿Es el doble? ¿Es la mitad? El área de un polígono regular es igual a perímetro por apotema, todo dividido entre dos. ¿Qué fórmula podemos utilizar para calcular su área? El área del gato y del conejo, por ejemplo, son iguales y ambas ocupan 19.5 unidades cuadradas.
Tabla de Áreas de Figuras Planas de Ejemplo
| Figura | Base (cm) | Altura (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|---|
| Rectángulo | 5 | 7 | 35 |
| Romboide | 9 | 6 | 54 |
| Triángulo | 6 | 4,5 | 13,5 |
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