En matemáticas, las funciones determinan el tipo de relación que guardan dos elementos o variables entre sí. Una función lineal se define como una función con una tasa de cambio constante, es decir, un polinomio de grado 1, cuya representación gráfica es siempre una línea recta. Esta se expresa mediante la fórmula:
f(x) = mx + b
Donde los componentes principales son:
- m: representa la pendiente o la tasa de cambio constante de la función.
- b: es el valor inicial o constante, conocido como la intersección con el eje y (el valor de la salida cuando la entrada x es 0).
Comportamiento de la función lineal
El comportamiento de la recta depende directamente del valor de la pendiente m:
- Si m > 0, la función es creciente: los valores de salida aumentan a medida que aumentan los valores de entrada, y la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha.
- Si m < 0, la función es decreciente: los valores de salida disminuyen a medida que aumentan los valores de entrada, y la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha.
- Si m = 0, la función es constante: los valores de salida son los mismos para cualquier entrada.
Deducción de la fórmula en funciones decrecientes
Para construir o deducir la fórmula de una función lineal decreciente, es fundamental identificar la pendiente negativa y el valor inicial. El signo negativo que antecede a m indica que la función decrece. A continuación, se presenta un procedimiento lógico para su determinación:
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- Establecer los datos iniciales: Identificar el valor constante (b) y el cambio en la variable dependiente respecto a la independiente.
- Calcular la pendiente (m): Si no se proporciona directamente, se utilizan dos puntos cualesquiera de la recta (x₁, y₁) y (x₂, y₂) mediante la fórmula:
m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) - Determinar el valor inicial (b): Si no se conoce, se sustituye un par de coordenadas (x, y) y la pendiente calculada en la ecuación f(x) = mx + b y se resuelve para b.
- Escribir la función: Una vez obtenidos m y b, se sustituyen en la fórmula general.
Ejemplo práctico de función decreciente
Supongamos que deseamos modelar la reducción en las ventas de un producto a medida que aumenta su precio. Si el precio aumenta 0.3 € cada mes y las ventas disminuyen, la pendiente será negativa. Si el valor inicial (ventas sin variación de precio) es b, la función tomará la forma f(x) = -mx + b.
| Elemento | Descripción |
|---|---|
| Pendiente (m) | Indica la disminución de la salida por cada unidad de entrada. |
| Intersección (b) | Representa el valor inicial cuando la variable x es cero. |
| Dominio | Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. |
En el mundo real, los problemas no siempre se plantean explícitamente como funciones. Sin embargo, al representar los datos como una función lineal, podemos interpretar los componentes de la ecuación para predecir comportamientos futuros, como el descenso en las ventas o la pérdida de altitud de un objeto en movimiento.
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