La cinemática es la rama de la física que se dedica a estudiar el movimiento de los objetos. Para describir completamente el movimiento de los cuerpos, se debe conocer su posición en cualquier instante de tiempo. Este se puede describir con palabras, gráficas, diagramas y ecuaciones, siendo el cálculo diferencial e integral la herramienta fundamental para derivar las relaciones que gobiernan a todas estas especies cinemáticas.
Fundamentos del cálculo cinemático
Las ecuaciones cinemáticas relacionan el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un cuerpo mediante derivadas e integrales. Las definiciones de velocidad y aceleración instantáneas, $\vec{\boldsymbol{v}}$ y $\vec{\boldsymbol{a}}$ respectivamente, son las bases de todo el estudio:
- Velocidad: Es la tasa de variación del desplazamiento con respecto al tiempo, definida como $\vec{\boldsymbol{v}} = \frac{d\vec{\boldsymbol{r}}}{dt}$.
- Aceleración: Es la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, definida como $\vec{\boldsymbol{a}} = \frac{d\vec{\boldsymbol{v}}}{dt}$.
Como vemos, estas definiciones utilizan derivadas, y para poder aplicarlas apropiadamente a cualquier movimiento también habrá que hacer integrales. Si sabemos hacer las derivadas e integrales más básicas, estaremos preparados para mostrar que las ecuaciones de nuestras criaturas cinemáticas se pueden encontrar partiendo sólo de estas dos ecuaciones.
Tabla de relaciones cinemáticas mediante cálculo
La siguiente tabla resume cómo convertir entre desplazamiento, velocidad y aceleración utilizando diferenciación o integración:
| Variable cinemática | Derivada cinemática | Integración cinemática |
|---|---|---|
| Desplazamiento (x) | - | $x = \int v dt$ o $x = \iint a dt dt$ |
| Velocidad (v) | $v = \frac{dx}{dt}$ | $v = \int a dt$ |
| Aceleración (a) | $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ | - |
Tipos de movimiento y sus ecuaciones
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Este movimiento se define con una única característica: es de velocidad constante. Por lo tanto, la aceleración es cero. La fórmula de la posición se obtiene integrando la velocidad: $\vec{\boldsymbol{r}} = \vec{\boldsymbol{r}}_0 + \vec{\boldsymbol{v}}t$.
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Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
Este se define como un movimiento de aceleración constante y es rectilíneo. En este caso, la posición tiene la misma ecuación que la obtenida para el MRU, pero con un término extra que depende de $t^2$. Las ecuaciones clave son:
- Velocidad en función del tiempo: $v_f = v_i + at$
- Posición en función del tiempo: $x_f = x_i + v_i t + \frac{1}{2}at^2$
- Velocidad en función de la posición: $v_f^2 = v_i^2 + 2a(\Delta x)$
Movimiento Circular
En el movimiento circular uniforme, el vector aceleración es paralelo al vector de posición pero de sentido contrario, apuntando siempre hacia el centro de la circunferencia. En el movimiento circular uniformemente acelerado, introducimos la aceleración angular $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$, la cual permite describir cambios tanto en la dirección como en la magnitud de la velocidad lineal.
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