En 1879, E. H. Hall ideó un experimento que puede utilizarse para identificar el signo de los portadores de carga predominantes en un material conductor. Investigamos el efecto Hall al estudiar el movimiento de los electrones libres a lo largo de una banda de metal de anchura l en un campo magnético constante.
Fundamento Teórico del Efecto Hall
Veamos con más detalle el fundamento teórico detrás del efecto Hall. En el efecto Hall, se produce una diferencia de potencial entre los bordes superior e inferior de la banda metálica cuando los portadores de carga en movimiento son desviados por el campo magnético. Los electrones se mueven de izquierda a derecha, por lo que la fuerza magnética que experimentan los empuja hacia el borde inferior de la tira. Esto deja un exceso de carga positiva en el borde superior de la tira, lo que da lugar a un campo eléctrico E dirigido de arriba a abajo. La concentración de carga en ambos bordes se acumula hasta que la fuerza eléctrica sobre los electrones en una dirección se equilibra con la fuerza magnética sobre ellos en la dirección opuesta, donde e es la magnitud de la carga del electrón, vdvd es la velocidad de deriva de los electrones, y E es la magnitud del campo eléctrico creado por la carga separada. Un campo magnético genera una fuerza sobre los portadores de carga, que a su vez induce un campo \(E_{HALL}\) cuyo efecto es contrarrestar la fuerza de Lorentz, hasta equilibrarla. Este fenómeno se debe a la diferente carga (negativa para electrones, positiva para huecos) que presentan los portadores, y a la carga opuesta por defecto de los portadores que se han alejado de dicha zona.
Una situación en la que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí se denomina situación de campo cruzado. Si estos campos producen fuerzas iguales y opuestas sobre una partícula cargada con la velocidad que iguala las fuerzas, estas partículas son capaces de pasar por un aparato, llamado selector de velocidad, sin ser desviadas. Esta velocidad se representa en la Ecuación 11.26.
Voltaje Hall y Coeficiente Hall
La cantidad V se denomina potencial Hall y se puede medir con un voltímetro. Para calcular el voltaje Hall, necesitamos conocer la corriente que atraviesa el material, el campo magnético, la longitud, el número de portadores de carga y el área. El coeficiente Hall se obtiene a partir de la pendiente de los valores de voltaje Hall obtenidos.
Por otro lado, el signo de RH depende del signo de q. Las mediciones del potencial Hall muestran que los electrones son los portadores de carga dominantes en la mayoría de los metales, que son electrones con carga intrínsecamente negativa. Sin embargo, los potenciales Hall indican que para unos pocos metales, como el tungsteno, el berilio y muchos semiconductores, la mayoría de los portadores de carga son positivos. Este comportamiento que clásicamente sería atribuible a portadores de carga positivos (huecos).
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Resulta que la conducción por carga positiva está causada por la migración de sitios de electrones perdidos (llamados agujeros) en los iones. Se obtuvo un coeficiente Hall positivo en algunas muestras, que muestran coeficiente Hall positivo. Es importante mencionar explícitamente la razón por la que algunos metales muestran un coeficiente Hall positivo. En el interior del material, va a haber dos tipos de portadores de carga, electrones y huecos.
Ejemplos de Coeficientes Hall
Se discuten medidas de efecto Hall en dos tipos de materiales: cobre (Cu) y zinc (Zn). Para el cobre, se encontró un coeficiente RH = - (0.28 ± 0.01)x10^-10 m3/C. Para el zinc, el coeficiente Hall es positivo, RH = + (4.2 ± 0.2)x10^-11 m3/C. Otras fuentes reportan para el cobre un RH = - 0.536 x 10^-10 m3/C (Stoecker, 1998).
Aplicaciones del Efecto Hall
El efecto Hall puede utilizarse para medir campos magnéticos. Si un material con una densidad conocida de portadores de carga n se coloca en un campo magnético y se mide V, entonces se puede determinar el campo a partir de la Ecuación 11.29. También permite determinar la concentración de impurezas y su movilidad a partir de la medición del voltaje Hall y la corriente, así como la movilidad del la conductividad previamente obtenido.
Consideraciones Físicas y Estructurales de los Metales
Para comprender el efecto Hall desde el punto de vista físico, es fundamental entender la estructura de los sólidos. Todos los materiales cristalinos adoptan una distribución regular de átomos o iones en el espacio. Se define la celda unitaria como la porción más simple de una estructura cristalina que al repetirse mediante traslación reproduce todo el cristal. La relación es r=a/2. Se define factor de empaquetamiento fe al cociente entre el volumen de los átomos contenidos en la celda y el volumen de la celda, es la proporción de espacio de la celda ocupado por los átomos.
Los electrones de valencia son los electrones que se encuentran en la capa de mayor nivel de energía del átomo, siendo estos los responsables de la interacción entre átomos de distintos elementos o entre los átomos del mismo elemento. En un volumen V de conductor hay N átomos. La densidad n de electrones que contribuyen a la conducción (número de electrones por unidad de volumen) es n=zN/V. La masa ma de cada átomo es el cociente entre la masa atómica, A y el número de Avogadro NA. Si conocemos z, que para los metales alcalinos es la unidad, despejamos de la fórmula el número NAq denominado constante de Faraday, F. Los mecanismos de conducción en los sólidos (Kittel, 1996; Blakemore 1969) involucran colisiones con átomos e impurezas, afectando las movilidades \( \mu_n \) y \( \mu_p \).
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La estructura de bandas permitidos y prohibidos para los electrones es decisiva para las propiedades de muchos metales. Una banda se encuentra en medio de una banda. Las fronteras de la 1ª ZB (Zona de Brillouin), incluso la tercera zona de Brillouin o más allá, tienen un esquema de zona reducida. La segunda y la tercera están parcialmente llenas, cercano a (Blakemore, 1969). La dirección ka es perpendicular al plano de la frontera, hacia el interior de la figura. En un conductor, los electrones se mueven con diferentes velocidades y en todas las direcciones; la velocidad media es cero.
Metodología Experimental para la Medición del Efecto Hall
Para realizar las medidas interactivas, se trabaja en dos pasos, comenzando por la "Conductividad". Seguidamente se varía con el control rotatorio el valor de corriente, generando dos conjuntos de medidas. Los valores de voltaje Hall obtenidos se grafican. El sistema de medición incluye una fuente de corriente y un computador, utilizando una interfaz GPIB (purpose interface bus) y LabVIEW 6i para automatización por medio de la interface IEEE-488. Se utiliza una fuente de corriente Hall, con variables como la altura y la anchura de la muestra, respectivamente, situadas en la dirección perpendicular tanto a \(I\) como a \(B\).
La medición se hace con una sonda Hall (SH) y un teslámetro (Tm), manteniendo la temperatura y el campo magnético constantes. La corriente que circulará por la muestra se incrementa en un valor Δi, y el ciclo se repite. Los resultados concuerdan con los reportados en la literatura científica.
Ejemplos de Medición en Materiales Específicos
Un rayo de electrones entra en un selector de velocidad de campo cruzado con campos magnéticos y eléctricos de 2,0 mT y 6,0x10^3 N/C, respectivamente. Para calcular el voltaje Hall, necesitamos conocer la corriente que atraviesa el material, el campo magnético, la longitud, el número de portadores de carga y el área. Una sonda Hall consiste en una tira de cobre, n=8,5x10^28 electrones por metro cúbico, que tiene 2,0 cm de ancho y 0,10 cm de espesor. Sea una lámina de cobre, supongamos que cada átomo de cobre tiene un electrón en su capa exterior (z=1) que contribuye a la corriente eléctrica. La lámina de cobre de ancho d=1.5 cm y espesor h=0.125 cm se coloca perpendicularmente a un campo magnético B=1.17 T. A lo largo de la lámina circula una corriente de intensidad i=100 A. La Figura 11.18 muestra una cinta de plata cuya sección transversal es de 1,0 cm por 0,20 cm. La cinta lleva una corriente de 100 A de izquierda a derecha, y se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitud 1,5 T. Como la mayoría de los portadores de carga son electrones, la polaridad del voltaje Hall es la indicada en la figura. Se ha estudiado el efecto Hall en una muestra metálica de zinc de 25 µm de espesor, con un campo magnético que varía desde -300 mT hasta 400 mT, a temperaturas entre 300K y 450K.
Analogía del Efecto Hall en Fluidos Conductores
Supongamos una solución de agua salada que fluye a través de una tubería de sección rectangular tal como se aprecia en la figura. Dos lados opuestos de la tubería son láminas metálicas de altura h. Sea v la velocidad media del fluido o de los iones sodio (positivos) y cloro (negativos). Como vemos en la figura, la fuerza que ejerce el campo magnético fm=qvB desvía a los iones positivos hacia la izquierda y los iones negativos hacia la derecha. Se establece un campo eléctrico E de izquierda a derecha que se opone a la acumulación de carga fe=qE. Por ejemplo, si fluye agua a razón de Q=1 litro/s y h=0.05 m.
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Cuando estudiamos la viscosidad de un fluido que circula en régimen laminar por una tubería, obtuvimos un perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo. Supongamos que la velocidad del fluido varía a lo largo del eje Z, de modo que es cero en las caras metálicas opuestas (z=-d/2 y z=d/2) y máximo en el centro z=0. Como la velocidad del fluido varía con z, el campo eléctrico no es constante E=v(z)B, es nulo en las caras metálicas opuestas (z=-d/2 y z=d/2). La consecuencia es que la densidad de carga λ(z) no es constante. Aplicamos la ley de Gauss, tomando una superficie cerrada en forma de prisma de longitud L, altura h y anchura d/2+z, en color azul en la figura, siendo λ(z)=ρ(z)·hL la carga por unidad de longitud a lo largo del eje Z y ρ(z) la carga por unidad de volumen. El resultado de la integral nos dice que a velocidad media del fluido es dos tercios de la velocidad máxima en el centro v0. La densidad de carga varía linealmente con z, es positiva entre z=-d/2 y z=0 y es negativa desde z=0 a z=d/2. Consideremos ahora otra función v(z), que podría describir mejor el perfil de velocidades de los fluidos reales, de modo que la velocidad del fluido es máxima y casi constante en el interior de la tubería y disminuye rápidamente a cero en las proximidades de las paredes.
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