Existe una clase de problemas de flujo en canal abierto que pueden describirse adecuadamente en el contexto de modelos matemáticos de dos dimensiones, promediados en la profundidad. Esencialmente, estos modelos son capaces de resolver corrientes de flujo en dos direcciones horizontales, asumiendo que las propiedades del fluido y del flujo no varían a lo largo de la vertical. La mayor eficiencia de las computadoras ha llevado a un gran esfuerzo de investigación en el refinamiento de los modelos matemáticos. Si bien ofrecen una flexibilidad casi ilimitada en la simulación de alternativas, estos modelos tienen el atractivo adicional de tener menores costos de desarrollo y operativos.
Fundamentos y formulación bidimensional
La descripción detallada de los fenómenos de flujo se logra mejor en un marco espacial tridimensional; sin embargo, la complejidad de una formulación en tres dimensiones a menudo requiere enormes cantidades de recursos computacionales. Cuando es válida, la simplificación a una representación bidimensional puede ofrecer una reducción considerable en complejidad. Esto implica una integración de las ecuaciones tridimensionales de la dinámica de fluidos a través de la profundidad del flujo.
A Hansen se le atribuye el mérito de ser el primero en delinear la formulación bidimensional promediada en profundidad. Posteriormente, otros investigadores, sobre todo Leendertse, siguieron a Hansen en la aplicación de conceptos de modelado bidimensional al estudio de la hidrodinámica costera y estuarina. En un análisis detallado del flujo de superficie libre, Leendertse desarrolló un modelo computacional para la propagación de ondas de largo período en estuarios bien mezclados y mares costeros.
Desafíos en el modelado de circulación
El sistema bidimensional de ecuaciones integradas en la profundidad no está exento de dificultades: existe un problema de cierre asociado con los esfuerzos cortantes efectivos que actúan tangencialmente en los lados verticales de un elemento de fluido. De acuerdo con Kuipers y Vreugdenhil, si se ignoran la carga de viento, la vorticidad puede ser creada por los términos convectivos que interactúan con el flujo convergente o divergente o por los esfuerzos cortantes efectivos. Los experimentos numéricos mostraron la necesidad de incluir los términos de inercia convectiva para modelar el flujo circulante bidimensional.
De acuerdo con el balance de vorticidad de Flokstra, es teóricamente imposible generar flujo circulante sin modelar el esfuerzo cortante efectivo. Abbott y Rasmussen verificaron la conclusión de Kuipers y Vreugdenhil de que los términos de inercia convectiva son necesarios para la generación de circulación. Abbott y Rasmussen también concluyeron que las "pseudocirculaciones", que se producen estrictamente debido a los errores de truncamiento de los esquemas de diferencias de primer orden, eran posibles en modelos bidimensionales promediados en profundidad.
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Metodología y discretización
Se utiliza una aproximación en diferencias finitas para representar la ecuación diferencial parcial establecida en el modelo numérico. Entre los varios tipos de esquemas de diferencias finitas disponibles, las aproximaciones en diferencias centrales proporcionan precisión de segundo orden. El procedimiento computacional utilizado en este modelo es un modo de solución multioperacional basado en la división de cada paso de tiempo Δt en dos etapas de paso de medio tiempo cada una. La ventaja del método IDA, además de las atribuibles a esquemas implícitos, radica en el procedimiento de solución que resuelve la ecuación x-momentum por separado de la ecuación y-momentum, permitiendo que el problema bidimensional se resuelva como una secuencia de dos problemas unidimensionales.
Consideraciones sobre límites y estabilidad
Se pueden especificar dos tipos de límites en el modelo numérico: cerrados y abiertos. En límites cerrados, la especificación más conveniente es la condición de flujo de masa cero en una dirección perpendicular al límite. Un problema generalizado en el modelado matemático bidimensional es la falta de criterios teóricos adecuados de estabilidad numérica. La teoría de la estabilidad lineal clasifica el procedimiento multi-operacional como incondicionalmente estable. Sin embargo, la experiencia ha demostrado que el método es solo débilmente estable.
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