Actualmente, las diferentes ramas de control automático, dentro de las que se encuentran el control no lineal, el control adaptativo, el control óptimo, entre otros, convergen en la necesidad de utilizar un modelo matemático que describa el comportamiento del sistema dinámico referente a la evolución de sus variables internas, para su aplicación a sistemas multivariables, no lineales y/o variables en el tiempo. Los modelos de espacio de estados (SSM) son una clase de algoritmos de machine learning utilizados para hacer predicciones sobre sistemas dinámicos mediante el modelado de cómo su estado interno evoluciona con el tiempo a través de ecuaciones diferenciales.
Históricamente utilizados en la ingeniería de sistemas de control, los SSM son una plataforma matemática notablemente flexible adaptable a la mayoría de las tareas de modelado de secuencias. Los modelos de espacio de estados tienen su origen en la ingeniería de sistemas de control, donde desempeñaron una función fundamental en los cálculos de navegación para el programa Apollo en la década de 1960. Los SSM también se utilizan de forma destacada en ingeniería eléctrica, donde son fundamentales para el procesamiento de señales, la teoría de control y la robótica. En economía, los SSM pueden modelar cómo afectan las tendencias y la estacionalidad a los precios de las acciones. En neurociencia, pueden trazar relaciones entre las señales cerebrales medibles (como las fMRI) y la actividad neuronal subyacente.
Fundamentos del Modelo en Espacio de Estados
Definición y Conceptos Clave
Un modelo en espacio de estados es una representación matemática de un sistema físico como un conjunto de variables de entrada, salida y estado relacionadas mediante ecuaciones diferenciales de primer orden. Los SSM se basan en dos ecuaciones simples: una describe la dinámica interna de un sistema que no es directamente observable y la otra describe cómo esas dinámicas internas se relacionan con los resultados observables. Las variables de estado definen los valores de las variables de salida.
Variables de Estado y Vector de Estado
Las condiciones de un sistema en un momento dado vienen determinadas por los valores específicos de cualquier número de variables del sistema. El objetivo de modelar eficazmente el espacio de estados es identificar el subconjunto más pequeño de variables del sistema necesario para describirlo por completo. Este subconjunto de variables del sistema se denomina variables de estados. Las variables de estado del sistema se definen como la representación de la cantidad mínima de información que define el estado. Este conjunto de variables se define por xi (t), con i variables necesarias al orden del sistema y cuyos valores dependen del instante del tiempo considerado.
Se llama orden del sistema al número de variables de estado con el que se construye. El conjunto de variables de estado recibe el nombre de vector de estado y se denota por el vector x(t). En muchos de los sistemas físicos reales se puede obtener un modelo aproximado donde el vector de estados es de dimensión finita de orden n (Domínguez, 2006). El estado concreto del sistema en un momento dado puede expresarse como un vector de estados, en el que cada elemento del vector representa el valor de su correspondiente variable de estados. El vector de estados tiene el mismo número de dimensiones que el propio espacio de estados. Por ejemplo, imagine un automóvil de juguete que se mueve a lo largo de una pista recta a velocidad constante. El espacio de estados se puede modelar con 2 variables de estados: la posición del automóvil (medida en distancia desde la línea de salida) y su velocidad. Por lo tanto, el estado del sistema en cualquier momento t puede expresarse como un vector de estado bidimensional [posiciónt, velocidadt].
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Las Ecuaciones Fundamentales y sus Matrices
Una vez que hayas asimilado los tres conceptos fundamentales para la representación de la dinámica interna, el siguiente paso es realizar el modelo matemático de un sistema dinámico utilizando dos ecuaciones: la ecuación de estado y la ecuación de salida. La ecuación de estado es la que representará la evolución del estado del sistema, en función del valor actual del estado y la aportación de la entrada. La ecuación de espacio de estados (o simplemente ecuación de estados), como su nombre indica, describe el estado del sistema mediado por la matriz A y la matriz B. La ecuación de salida se relaciona con la salida observable del sistema.
En este caso, x, u e y representan los estados, las entradas y las salidas, respectivamente, mientras que A, B, C y D son las matrices de espacio de estados. En tiempo discreto, un modelo en espacio de estados tiene el formato: [ecuaciones]. Los parámetros clave de un MUS son A, B, C y D, que suelen adoptar la forma de matrices. Cada elemento de cada matriz representa la relación, expresada como una derivada de primer orden, de una variable de estados con respecto a alguna otra variable (como una variable de entrada externa, otra variable de estado o ella misma).
| Matriz | Descripción | Dimensión (n = estados, m = entradas, p = salidas) |
|---|---|---|
| A (Matriz de Estado / Transición) | Describe cómo el estado interno del sistema evoluciona con el tiempo si se deja solo. Cada columna representa una variable de estado y cada fila su tasa de cambio. | n x n |
| B (Matriz de Entrada) | Describe cómo una entrada dada afecta cada variable de estado. | n x m |
| C (Matriz de Salida) | Determina la relación entre las variables de estado internas y la salida observada. | p x n |
| D (Matriz de Alimentación Directa) | Describe cómo la entrada influye directamente en la salida observada del sistema. | p x m |
Modelado de Sistemas Físicos en Espacio de Estados
El modelado en espacio de estados es un procedimiento para la construcción de un modelo matemático a partir de un modelo físico que se rige por las leyes naturales conocidas, por ejemplo, las leyes de Newton. Este tipo de modelado permite reconocer la presencia de los componentes y la interconexión adecuada entre ellos a partir del desarrollo del modelo físico que lo rige, asumiendo sus propias relaciones constitutivas. El enfoque del modelado en espacio de estados considera de manera especial a los modelos de parámetros concentrados de sistemas de ingeniería, en especial sistemas mecánicos y eléctricos, así mismo pertenece al grupo de métodos basados en consideraciones formales de causas y efectos físicos en los componentes de los sistemas.
El método resulta atractivo en comparación a los modelos basados en leyes de conservación de la energía, porque proporciona al usuario la oportunidad de desarrollar y aplicar su intuición física. Cabe recalcar que el modelado en espacio de estados es el primer paso para la realización de un análisis y diseño de sistemas de control propios del método, con un alcance de aplicación para los sistemas no lineales o variantes en el tiempo; en otras palabras, este tipo de representación permite entender en cierta medida la dinámica interna de un sistema y a su vez otorga la capacidad de controlar su respuesta.
Metodología para el Modelado
De acuerdo con Domínguez (2006), al trabajar con sistemas físicos reales debemos recordar que el modelado matemático que modela de forma aproximada algunos de los fenómenos físicos con gran precisión es la representación por ecuaciones diferenciales. Siguiendo la propuesta de Domínguez (2006), se dan a conocer las pautas de un método para el modelado de sistemas físicos con el enfoque del modelado en espacio de estados.
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Paso 1: Elección de Variables de Estado
En la elección de variables de estado como magnitudes físicas del sistema, se tienen que identificar los elementos asociados a estas magnitudes. Como primer paso se deben elegir las variables de estado, seleccionando las variables naturales asociadas a cada uno de los elementos acumuladores de energía. En sistemas eléctricos, las variables de estado son los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores.
Paso 2: Identificación de Elementos Pasivos y Activos
A este tipo de elementos se les denomina elementos pasivos, y cumplen con la característica de que la energía introducida al sistema no puede exceder la cantidad que el elemento ha almacenado. En otras palabras, son elementos que no son capaces de producir energía. En general, algunos elementos pasivos tienen la capacidad de almacenar energía de dos tipos: energía potencial y energía cinética. La energía cinética representa la energía asociada con el movimiento de la masa. La energía potencial puede ser de tipo gravitacional, donde solamente depende de la altura vertical del objeto sobre la superficie de la tierra. También se tiene la energía potencial elástica, que es la energía almacenada en un resorte cuando el resorte está estirado o comprimido. En sistemas mecánicos únicamente los elementos de masa y resorte pueden almacenar energía potencial. Son los elementos de inercia aquellos que permiten almacenar energía cinética. Cabe mencionar que los elementos disipadores de energía en sistemas mecánicos son los amortiguadores. En los sistemas eléctricos el capacitor puede almacenar energía cuando se le aplica un voltaje entre sus placas, en este caso, esta energía almacenada es en forma de campo eléctrico.
Por otro lado, existen elementos físicos que son denominados activos, pues son capaces de entregar energía externa al sistema. En sistemas mecánicos se encuentran, por ejemplo, las fuerzas y pares externos.
Paso 3: Definición de la Variable de Salida
Identificar la variable de salida de interés respecto al sistema. Como segundo paso se propone la variable de salida.
Paso 4: Obtención de las Ecuaciones Dinámicas
En esta etapa se debe obtener la ecuación dinámica del sistema. En términos de mecánica la base de nuestro análisis son las ecuaciones del movimiento mecánico de las leyes de Newton. Para esto, es necesario recurrir a las Leyes de voltaje de Kircchoff en la malla del circuito.
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Paso 5: Descripción en Términos del Modelo en Espacio de Estados
En este paso se toma a la ecuación dinámica del sistema y se procede a describirla en términos del modelo en espacio de estados. Considerando que el sistema es lineal, el modelo en espacio de estados se puede expresar en forma matricial. Se procede a reemplazar en las ecuaciones diferenciales cada uno de los estados definidos anteriormente. Así, la ecuación de estado y la ecuación de salida describen de forma matricial el modelado en espacio de estados del sistema.
NOTA: Recuerda que el número de variables de estado determina el orden del sistema, pero ten en cuenta que, la elección de variables de estado no es única, permitiendo encontrar infinitas representaciones.
Representación de Modelos en Espacio de Estados en MATLAB
El objeto ss representa un modelo en espacio de estados en tiempo continuo o en tiempo discreto en MATLAB® que almacena A, B, C y D junto con otra información, como tiempo de muestreo, nombres de las E/S, retardos y compensaciones. Para crear un objeto de modelo en espacio de estados, puede especificar directamente las matrices de estado, entrada y salida o convertir un modelo de otro tipo (por ejemplo, un modelo de función de transferencia tf) en espacio de estados. Por ejemplo, sys = ss(ltiSys) convierte el modelo de sistema dinámico ltiSys en un modelo en espacio de estados.
Funcionalidades y Propiedades Clave del Objeto ss
Un objeto de modelo en espacio de estados (ss) se genera cuando las entradas A, B, C y D son matrices numéricas o cuando se convierte desde otro tipo de objeto de modelo. Para más información, consulte Modelos en espacio de estados.
- Realización Mínima y Explícita: sys = ss(ssSys,'minimal') devuelve la realización mínima en espacio de estados sin estados no controlables o no observables. sys = ss(ssSys,'explicit') devuelve una realización explícita en espacio de estados (E = I) del modelo en espacio de estados del sistema dinámico ssSys.
- Tiempo de Muestreo (Ts): Especificado como un escalar. Para un sistema en tiempo continuo, Ts es 0; para un sistema en tiempo discreto, es un escalar positivo.
- Retardos: Incluye Retardos internos, Retardo de entrada para cada canal de entrada y Retardo de salida para cada canal de salida.
- Unidades y Nombres: Propiedades como StateUnit para las unidades de cada estado, TimeUnit para las unidades de tiempo, InputName y OutputName para asignar nombres a los canales de entrada y salida, y InputUnit y OutputUnit para sus unidades respectivas.
- Compensaciones (Offsets): Se especifican como una estructura con campos para desplazamientos de entrada, salida, estado y derivada de estado.
Modelos en Espacio de Estados en Machine Learning y Deep Learning
En los últimos años, la investigación sobre modelos de espacio de estados se ha centrado en sus usos en el aprendizaje profundo, con la integración de redes neuronales como los parámetros de las ecuaciones de SSM. En concepciones más modernas de SSM, esas matrices (A, B, C y D) son en sí mismas parámetros que deben optimizarse a través del machine learning para reflejar mejor los patrones en un conjunto de datos de entrenamiento. Se pueden utilizar varios algoritmos de machine learning para derivar los valores de A, B y C a partir de las entradas y los resultados correspondientes conocidos, mediante las 2 ecuaciones interrelacionadas que describen sus interacciones. El aprendizaje profundo ha surgido como un medio cada vez más común para aprender los parámetros de SSM. Dichos enfoques representan las matrices A, B y C como los pesos de una red neuronal. Mediante este proceso de aprendizaje supervisado (o aprendizaje autosupervisado), el modelo aprende implícitamente la dinámica del sistema de espacio de estados. A diferencia de un SSM convencional, un SSM basado en red neuronales no es interpretable: los valores de sus matrices ya no corresponden a las relaciones entre variables de estados y otros parámetros del modelo de una manera intuitiva.
SSM de Tiempo Continuo vs. Tiempo Discreto
Los SSM tradicionales son modelos de tiempo continuo diseñados para modelar secuencias continuas, como una señal eléctrica o la trayectoria de un objeto en movimiento. Pero muchas modalidades de datos procesadas por los modelos modernos de aprendizaje profundo, como texto, estructuras moleculares, comportamientos de los usuarios o datos de series temporales, suelen ser secuencias discretas. Conceptualmente, la discretización equivale a muestrear "instantáneas" del valor de una función continua en momentos específicos. Esto implica la introducción de un nuevo parámetro, el tamaño del paso, ∆, que determina cuánto tiempo se “mantuvo” esa instantánea en cada paso de tiempo discreto t.
Mientras que un SSM de tiempo continuo asigna una función x(t) a una función y(t), un SSM de tiempo discreto es un modelo de secuencia a secuencia. Los parámetros y ecuaciones de los SSM discretizados suelen reescribirse para distinguirlos de sus equivalentes de tiempo continuo mediante la notación de subíndices que suele utilizarse para las RNN. Afortunadamente, los SSM discretizados tienen una propiedad importante que los distingue de otras RNN: modelan exclusivamente dependencias lineales. En otras palabras, solo utilizan operaciones simples y directas de multiplicación y suma.
Mamba es una arquitectura de redes neuronales basada en una variante especial de SSM estructurados: el modelo de espacio de estados selectivo. Los SSM ordinarios están diseñados explícitamente para asignar entrada a salida utilizando todo el historial de entrada. En diseños anteriores de SSM, los parámetros A, B, C, D y ∆ son fijos.