¿Qué es un Rombo?
Un rombo tiene todos sus lados congruentes y diagonales perpendiculares.
Además, al ser un paralelogramo, sus diagonales se cortan en su punto medio M.
Por otro lado, el cuadrado comparte todas las propiedades de un rombo, pero se diferencia en que tiene sus cuatro ángulos rectos de 90°. Por eso, puede considerarse un caso particular de rombo.
Por ejemplo, un cuadrilátero puede tener diagonales perpendiculares sin ser un rombo (como ocurre en un cometa convexo).
Demostración de las Propiedades del Rombo a partir de un Paralelogramo
Rombo como un Paralelogramo de Lados Consecutivos Congruentes
Demostración. Dado que ABCD es un paralelogramo, sabemos que sus lados opuestos son congruentes; es decir, AB≅CD y AD≅BC. Si asumimos que dos lados consecutivos, por ejemplo AB y BC, también son congruentes (AB≅BC), por la propiedad transitiva se deduce que AB≅AD y BC≅CD.
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Rombo como un Paralelogramo con una Diagonal que Biseca un Ángulo
Demostración. Consideremos un paralelogramo ABCD. Supongamos que una de sus diagonales biseca uno de sus ángulos, por ejemplo, que la diagonal AC divide en dos partes iguales el ángulo en el vértice A. Los lados opuestos de un paralelogramo siempre son paralelos, por lo que la diagonal AC actúa como transversal de las rectas paralelas AD||BC. Según el teorema de las rectas paralelas, los ángulos alternos internos son congruentes. Esto implica que el triángulo ABC tiene dos ángulos congruentes (α'≅γ) adyacentes al lado AC, lo que lo convierte en un triángulo isósceles con base AC. Siendo isósceles, sus lados oblicuos AB y BC son congruentes.
Perpendicularidad de las Diagonales de un Paralelogramo que es un Rombo
Demostración. Supongamos que ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí. Como ABCD es un paralelogramo, sabemos que sus diagonales se cortan en el punto medio M. Dado que AM≅CM y BM≅DM, los triángulos rectángulos AMD y CMD son congruentes (AMD≅CMD) por el primer criterio de congruencia, ya que comparten el lado DM, tienen lados congruentes y ángulos rectos congruentes. Al ser congruentes, todos sus lados y ángulos coinciden. En particular, sus hipotenusas AD y CD son congruentes, puesto que representan lados consecutivos del paralelogramo.
Deducción de las Fórmulas de las Diagonales del Rombo
Explicación. Los pasos algebraicos para deducir las fórmulas de las diagonales mayor y menor del rombo son bastante sencillos. No obstante, para completitud, los detallo a continuación.
La fórmula de la diagonal mayor se deduce a partir de la fórmula del lado.
La longitud de un lado puede determinarse aplicando el teorema de Pitágoras.
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De forma análoga, se obtiene la fórmula para la diagonal menor.
Formación de Triángulos Rectángulos Clave
Demostración. Consideremos un rombo ABCD, cuyas diagonales se cruzan en su punto medio M. Al ser un rombo, todos sus lados son congruentes. Esto hace que el triángulo ACD sea un triángulo isósceles, ya que sus lados AD y CD tienen la misma longitud.
En un triángulo isósceles, la mediana correspondiente al vértice es también altura y bisectriz. Por tanto, el segmento DM actúa como bisectriz del ángulo D y, además, es perpendicular al lado AC, que en este caso es una de las diagonales del rombo.
El mismo razonamiento se aplica al triángulo ABC, que es congruente con el triángulo ACD según el tercer criterio de congruencia de triángulos (Lado-Lado-Lado); es decir, ABC≅ACD.
Ahora analicemos el triángulo ABD, que también es un triángulo isósceles porque sus lados AD y AB son congruentes.
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Esto implica que el segmento AM es a la vez mediana, altura y bisectriz del ángulo en el vértice A. Así, divide dicho ángulo en dos partes iguales y es perpendicular a la diagonal BD.
El mismo razonamiento vale para el triángulo BCD, que es congruente con ABD según el tercer criterio de congruencia, es decir, BCD≅ABD.
Un rombo tiene todos sus lados congruentes y sus diagonales se cruzan de manera perpendicular en el punto medio M. Por el tercer criterio de congruencia (Lado-Lado-Lado), los triángulos AMD y CDM son congruentes porque comparten lados iguales. Además, los triángulos AMD y ABM son congruentes, ya que tienen los tres lados iguales. Y así sucesivamente.
Cada diagonal divide el rombo en dos triángulos isósceles. Por ejemplo, la diagonal AC divide el rombo ABCD en los triángulos ACD y ABC. Estos triángulos tienen dos lados congruentes: AD≅CD y AB≅BC. Por tanto, ambos son triángulos isósceles. La otra diagonal, BD, también divide el rombo en dos triángulos: ABD y BCD. Sus lados congruentes son AB≅AD y BC≅CD. Por tanto, ambos son triángulos isósceles.
Aplicaciones: El Área del Rombo
En esta sesión continuaremos aprendiendo cómo obtener el área de un rombo. Recuerda que en la clase anterior analizamos situaciones que nos pueden ayudar a comprender cómo lograrlo. Así podrás calcular el área de cualquier rombo y para que no se te olvide la podemos escribir como una fórmula.
El área de un rombo puede calcularse multiplicando las longitudes de sus diagonales (d y m) y dividiendo el resultado entre dos.
$$ A = \frac{d \cdot m}{2} $$
Lo que significa: “A” es área, la “D” mayúscula es la diagonal mayor, la cruz significa “por” y la “d” minúscula la diagonal menor.
Como se ve en la figura la diagonal mayor es la naranja, y la diagonal menor es la amarilla.
Ya tienes la fórmula, ahora calcula las áreas de los señalamientos y así podrás saber cuánta lámina se debe comprar.
Ya sabes cómo calcular el área del rombo y porque la fórmula es así.
Si te fijas, en la siguientes figura, tenemos dos triángulos que forman el rombo. Como son 4 triángulos, la superficie en rojo vale: 15(2).14
Ejemplos de Cálculo de Área
| Diagonal Mayor (D) | Diagonal Menor (d) | Cálculo | Área (A) |
|---|---|---|---|
| 87 cm (verde) | 66 cm (roja) | (87 * 66) / 2 = 5742 / 2 | 2,871 cm2 |
| - | - | 7,056 / 2 | 3,528 |
El área de un rombo vale y la diagonal mayor vale el doble de la diagonal menor. Calcula el valor de las dos diagonales.Respuesta: 10 m. la mayor y 5 m.
Otras Fórmulas del Rombo
El perímetro de un rombo se obtiene multiplicando por cuatro la longitud de uno de sus lados.
Otra forma de hallarla, aprovechando que el rombo es un paralelogramo, es multiplicar la longitud del lado (l) por la altura (h).