Para los ingenieros estructurales, el método de la rigidez es una herramienta vital para el análisis estructural. El método de rigidez se utiliza para determinar los desplazamientos, foco interno y reacción del haz, armaduras, y miembros del marco en una estructura. El método de rigidez incluye múltiples pasos. Una matriz de rigidez es una matriz que representa matemáticamente la relación entre las fuerzas aplicadas y los desplazamientos encontrados en cada elemento estructural. Es importante distinguir entre la matriz de rigidez local, que es específica de los elementos individuales dentro de una estructura, y la matriz de rigidez global. Las matrices de rigidez son útiles en una variedad de contextos de ingeniería. En ingeniería estructural, las matrices de rigidez se utilizan en el análisis de elementos finitos (FEA) para analizar estructuras complejas y dividir la estructura en elementos miembros más pequeños.
Matrices de Rigidez de Primer y Segundo Orden para Viga-Columna
En estructuras aporticadas, las deflexiones por cortante, los efectos de la componente cortante inducida por la fuerza axial aplicada sobre la deflexión de cada elemento, las deflexiones laterales (efectos P-d) a lo largo de cada elemento, la deriva relativa entre los extremos de cada elemento (efectos P-D), y los efectos de los momentos flectores sobre la rigidez axial causan un comportamiento no lineal con momentos flectores, rotaciones y desplazamientos adicionales. Estos cinco efectos geométricos no lineales no solo alteran la matriz de rigidez de cada elemento y de toda la estructura, sino que también afectan la capacidad de pandeo de cada elemento y de la estructura entera.
Por ejemplo, los efectos P-d pueden dar lugar a un pandeo individual del elemento, mientras los efectos P-D pueden dar lugar a inestabilidad estructural o pandeo global de piso. Los efectos combinados de la fuerza axial y de la cortante causan el fenómeno de pandeo a tracción, el cual fue observado y reportado por Kelly (2003) en soportes elastoméricos de múltiples capas y discutido por el autor (2005). Estos efectos dependen de:
- Los arriostramientos laterales y las condiciones de soporte del nivel del elemento, así como el nivel de toda la estructura.
- La intensidad y tipo (tracción o compresión) de la carga axial externamente aplicada o inducida a lo largo del elemento.
- La longitud y dimensiones de la sección transversal o propiedades de cada elemento.
- Las propiedades de los materiales de cada elemento a lo largo de su longitud y de los ejes principales de su sección transversal.
El comportamiento geométrico no lineal de estructuras aporticadas elásticas compuestas por elementos viga y viga-columna Euler-Bernoulli son generalmente analizados usando dos métodos diferentes: el Método de Elementos Finitos de segundo orden (MEF) y el Método de Funciones Clásicas de Estabilidad (MFCE) descrito por Aristizabal-Ochoa (1997). Sin embargo, el análisis no lineal de segundo orden de estructuras aporticadas compuestas por elementos viga y viga-columna de Timoshenko es más difícil y es usualmente resuelto usando métodos numéricos aproximados.
La matriz de rigidez de segundo orden y el correspondiente vector de carga de un elemento viga-columna prismático sometido a una carga axial constante sobre una fundación elástica uniformemente distribuida (tipo Winkler) a lo largo de toda su longitud con los extremos conectados a apoyos elásticos fueron desarrollados por Areiza, Hurtado y Aristizabal-Ochoa (2005). Los coeficientes de rigidez fueron expresados en términos del coeficiente de balasto de la fundación elástica, la carga axial aplicada, las condiciones de apoyo, la flexión y las deformaciones por cortante. El modelo propuesto por Areiza, Hurtado y Aristizabal-Ochoa (2005) incluye los diferentes modelos de elementos viga y viga-columna disponibles en la literatura técnica, incluyendo los basados en las teorías Bernoulli-Euler, Timoshenko, Rayleigh, flexión y cortante.
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Objetivo y Ventajas del Método Propuesto
Las soluciones cerradas de las matrices de rigidez y de carga para un elemento viga-columna de Timoshenko con conexiones semirrígidas necesarias para la estabilidad y el análisis elástico de segundo orden de estructuras aporticadas, incluyendo los cinco efectos no lineales previamente descritos usando funciones de estabilidad, no están disponibles en la literatura técnica. El objetivo principal de esta publicación es presentar las matrices de rigidez y de carga de primer y de segundo orden de un elemento viga-columna ortotrópica de Timoshenko con conexiones semirrígidas y de sección transversal simétrica utilizando el modelo de Haringx (Timoshenko y Gere 1961, p. 134).
Los efectos geométricos no lineales previamente descritos son incluidos en los coeficientes de rigidez axial y transversal y el vector de carga; sin embargo, estos efectos no se incluyen en la rigidez torsional. Las principales ventajas del método propuesto son:
- Los efectos de las conexiones semirrígidas están condensados en las matrices de rigidez y de carga para carga axial de tracción, compresión y cero sin introducir grados de libertad adicionales.
- Las matrices propuestas capturan el fenómeno de pandeo a tracción.
- Ambas matrices pueden ser incorporadas en programas de computación sin mayores dificultades.
El método y las matrices propuestas sirven para llevar a cabo el análisis de estabilidad elástica, de primer y de segundo orden de estructuras aporticadas hechas de elementos viga-columna ortotrópicos de Timoshenko con conexiones semirrígidas y con sección transversal simétrica. Ambas matrices también pueden ser utilizadas en el análisis inelástico de segundo orden de pórticos cuyos elementos sufren degradación por flexión o rigidización en las conexiones. El modelo propuesto también captura los modelos de elementos viga-columna basados en las teorías de Bernoulli-Euler, Timoshenko, y flexión y cortante.
Descripción del Modelo Estructural
El modelo adoptado en la formulación de las matrices es el de Haringx descrito por Timoshenko y Gere (1961). La figura 1 (mencionada en el material original) ilustra el elemento viga-columna AB ortotrópica de Timoshenko en tres dimensiones con conexiones semirrígidas. Se supone que está constituido por la viga-columna A´B´ y de las conexiones a flexión en los extremos A y B alrededor de los ejes locales x y y, respectivamente. Se supone que el elemento A´B es de un material homogéneo, linealmente elástico y ortotrópico con:
- Área total de sección transversal A; áreas efectivas a cortante Asx y Asy (a lo largo de los ejes locales x y y, respectivamente) y los momentos de inercia principales de área Ix e Iy (alrededor de los ejes locales principales x y y, respectivamente), momento de inercia polar del área Je y altura h.
- Las rigideces principales a flexión ExIx, EyIy alrededor de los ejes x y y, respectivamente.
- Rigidez a cortante GxAsx y GyAsy a lo largo de los ejes locales x y y, respectivamente.
- Rigidez torsional GeJe/h.
- La carga axial P actúa a lo largo del eje centroidal longitudinal z (compresión se supone positiva).
- Las conexiones a flexión en el extremo A tienen rigideces kax y kay (con dimensiones de momento/radian) sobre los ejes locales x y y, respectivamente.
Las relaciones Rax= kax/(ExIx/h) y Ray= kay/(EyIy/h) se denominan índices de rigidez de las conexiones flexibles del extremo A de la columna. Similarmente, las conexiones flexibles en el extremo B tienen rigideces kbx y kby e índices de rigidez Rbx= kbx/(ExIx/h) y Rby= kby/(EyIy/h). Los índices de rigidez varían desde cero para una conexión perfectamente articulada a infinito para una conexión perfectamente empotrada. Por conveniencia, los siguientes cuatro parámetros son introducidos: rax, ray, rbx, y rby son los factores de fijeza en los extremos A y B de la viga-columna alrededor los ejes centroidales x y y, respectivamente.
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Funciones de Estabilidad "Modificada"
La matriz de rigidez y el vector de carga de segundo orden de una viga-columna ortotrópica de Timoshenko, incluyendo flexión y deformaciones por cortante, en uno de los principales planos de flexión de la sección transversal se formula utilizando el modelo "modificado" propuesto por Haringx y descrito por Timoshenko y Gere (1961, p. 134). Este modelo ha sido utilizado por Aristizabal-Ochoa (2004 y 2006) en el análisis de estabilidad de columnas y sistemas de multi-columnas 3D y por Kelly (2003) en el análisis de soportes elastoméricos aislados.
Las ecuaciones gobernantes en uno de los planos principales de la sección transversal se expresan en términos de u(z), la deflexión lateral de la línea central de la viga-columna, y ψ(z), la rotación de la sección transversal. Las soluciones a estas ecuaciones diferenciales permiten obtener los coeficientes C1, C2, C3 y C4 a partir de las condiciones de frontera en los extremos A y B (z=0 y z=h, respectivamente), donde las deflexiones laterales son nulas y las rotaciones son ψa y ψb, respectivamente.
Las rotaciones ψa y ψb se pueden representar en forma matricial. Invirtiendo la matriz resultante, las expresiones para ψa y ψb pueden ser expresadas en términos de las rotaciones y como sigue, donde r y s son las funciones de estabilidad "modificada".
Matriz de Rigidez a Flexión en un Plano Principal
La matriz de rigidez y el vector de carga 2D del elemento AB desarrollados en este artículo incluyen los efectos de las dos conexiones a flexión en sus extremos. Los cuatro grados de libertad (GDL) a flexión del elemento AB en uno de los principales planos corresponden a desplazamientos y giros. Los coeficientes de rigidez correspondientes a una rotación unitaria en A, por ejemplo, k11, k21, k31 y k41 (momentos y fuerzas cortantes en los extremos A y B necesarios para tener una rotación unitaria en A mientras que B permanece totalmente fijo), se obtienen utilizando las condiciones en los extremos del elemento.
Los desplazamientos U2 y U4 son en realidad giros, y estos desplazamientos generan en los extremos de la viga ciertas solicitaciones de cortante y de momento flector. Con las constantes encontradas, se pueden determinar las ecuaciones de momento flector M(x) y de cortante V(x) en función de x. La matriz 4x4 mostrada constituye la matriz de rigidez de una viga en 2 dimensiones sometida a desplazamientos verticales y giros en los nudos. Las fuerzas F1, F2, F3, F4 representan en realidad las solicitaciones V1, M1, V2, M2 respectivamente.
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Herramientas para el Análisis de la Matriz de Rigidez
La Calculadora del método de rigidez SkyCiv implementa el método de rigidez para resolver estructuras en el plano de un solo miembro (vigas y vigas). Esta calculadora proporciona un desglose de la matriz de rigidez para los ejes local y global. Para elementos de viga, la calculadora del método de rigidez calculará la fuerza conocida, desplazamiento, y entradas de rigidez correspondientes a cada grado de libertad en función de las propiedades de la sección, las cargas, y las condiciones de contorno. De esto, la herramienta ensamblará la matriz y el vector y finalmente resolverá el sistema para obtener los desplazamientos y reacciones desconocidos.
La Calculadora de matriz de rigidez es útil para los estudiantes que aprenden el método de rigidez para resolver estructuras, como fuente de comparación. Junto con el software FEA como SkyCiv Structural 3D y utilizando la Calculadora de matriz de rigidez, los estudiantes o ingenieros pueden calcular la matriz de rigidez local y global, así como la matriz de transformación de cada elemento para poder compararlos con lo que calcularon.