En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto para todos los momentos.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto.
A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral. Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes, de manera independiente.
Continuidad y Derivabilidad
Para que una función sea derivable en un punto es necesario que también sea continua en ese punto: intuitivamente, si la gráfica de una función está «rota» en un punto, no hay una manera clara de trazar una recta tangente a la gráfica. La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.
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Notación de las Derivadas
Existen diversas formas para nombrar a la derivada. La notación más simple para diferenciación, en uso actual, se debe a Lagrange, y consiste en denotar la derivada de una función como : se lee «f prima de x». Esta notación se extiende a derivadas de orden superior, dando lugar a («f segunda de x» o «f dos prima de x») para la derivada segunda, y a para la derivada tercera.
Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. También puede encontrarse como , o . Se lee «derivada de ( o de ) con respecto a ». La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial.
Una tercera notación, de Newton, se lee «punto » o « punto». Actualmente está en desuso en el área de matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa.
Reglas de Multiplicación para Derivadas
En la práctica, para calcular derivadas de funciones más complicadas, se utilizan una serie de reglas que permiten reducir el problema al cálculo de la derivada de funciones más sencillas. Entre ellas, las reglas de multiplicación son fundamentales.
Derivada del Producto de Dos Funciones (Regla del Producto)
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero. En otras palabras, si tenemos f y g funciones tal que , entonces se cumple que:
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(f ⋅ g)' = f' ⋅ g + f ⋅ g'
Ejemplos de Derivadas de un Producto
Veremos algunos ejemplos para practicar y poder entender mejor esta propiedad de la derivada del producto de funciones:
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Para resolver este ejercicio, primero hay que elegir nuestras funciones f y g tal que . En nuestro caso, escogeremos a y a . Ahora obtengamos sus derivadas. Ya que tenemos a , , y , sustituimos en la fórmula de la derivada del producto de funciones para obtener la derivada final.
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Para resolver este ejercicio, primero hay que elegir nuestras funciones f y g tal que . En nuestro caso, escogeremos a y a . Ahora obtengamos sus derivadas. Como tenemos a , , y , el próximo paso es de sustituirlos en la fórmula de la derivada del producto de funciones.
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Para resolver este ejercicio, primero hay que elegir nuestras funciones f y g tal que . En nuestro caso, escogeremos a y a . Ahora obtengamos sus derivadas. Teniendo a , , y , los sustituimos en la fórmula para obtener la derivada.
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Derivada de una Constante por una Función
La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Así, tenemos que:
(c ⋅ f)' = c ⋅ f'
donde c es una constante y f es una función.
Funcionamiento de una Calculadora de Derivadas
Para aquellos con antecedentes técnicos, una calculadora de derivadas funciona de la siguiente manera: Primero, un analizador sintáctico (o parser) analiza la función matemática. Este la convierte a un formato más comprensible para una computadora, esto es un árbol. Al hacer esto, la Calculadora de Derivadas tiene que respetar el orden de operaciones. Algo especial en expresiones matemáticas es que el signo de multiplicación puede ser omitido en ocasiones, por ejemplo escribimos 5x en lugar de 5*x. La Calculadora de Derivadas tiene que detectar esos casos e insertar el signo de multiplicación.
El parser está implementado en JavaScript, basado en el algoritmo Shunting-yard, y puede ser ejecutado directamente en el explorador. Esto permite un rápido feedback mientras escribimos al transformar el árbol en código LaTeX. Cuando el botón "Ir" es presionado, la Calculadora de Derivadas envía la función matemática y las opciones de configuración (variable y orden de derivación) al servidor, donde es analizada otra vez. Como cualquier sistema de álgebra computacional, este aplica un número de reglas para simplificar la función y calcular la derivada de acuerdo con las comúnmente conocidas reglas de derivación.
Mostrar los pasos del cálculo es un poco más complicado, porque la Calculadora de Derivadas no puede depender completamente de Maxima para esta tarea. En lugar de ello, las derivadas tienen que ser calculadas manualmente paso por paso. Las reglas de derivación (regla del producto, regla del cociente, regla de la cadena, …) han sido implementadas en código de JavaScript. También hay una tabla de derivadas para las funciones trigonométricas, la raíz cuadrada, la función logarítmica y la exponencial. En cada paso se lleva a cabo el cálculo de una derivada o esta se reescribe de otra forma equivalente.
La función "Verifica la respuesta" tiene que resolver la difícil tarea de determinar si dos expresiones matemáticas son equivalentes. Su diferencia se calcula y simplifica tanto como sea posible usando Maxima. Si se puede demostrar que la diferencia es cero, la tarea está resuelta. De otra manera, se aplica un algoritmo probabilístico que evalúa y compara ambas funciones en lugares determinados aleatoriamente.
Cálculo Fraccional: Un Concepto Avanzado
El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta emergencia fue en parte debido a la notación de Leibniz para derivadas de orden entero. El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden. Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que el orden fraccional tiende a los enteros.
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