Explorando la Fórmula de Onda y su Propagación

Para comprender la naturaleza de las ondas, es fundamental analizar su comportamiento en distintos medios. Supongamos una cuerda de longitud infinita, con unas características tales que las ondas se propagan en este medio con velocidad c. La solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales es la suma de dos ondas que se propagan a lo largo del eje X en sentidos contrarios. Sin embargo, no es una tarea fácil encontrar las funciones u y v que satisfacen las condiciones iniciales.

El Dominio de Dependencia en la Propagación de Ondas

Los efectos de la perturbación inicial se propagan con velocidad finita c, por lo que solamente una parte de los datos iniciales afectan la solución de la ecuación de ondas en el punto xp y en el instante tp. Este intervalo se llama domino de dependencia. La solución depende de los valores de la función F(x) en los extremos del intervalo [xp-ctp, xp+ctp] y de los valores de G(x) en todos los puntos de dicho intervalo.

Ejemplos de Propagación de Ondas en Cuerdas

Para ilustrar la propagación de ondas, consideremos diversos escenarios en cuerdas.

• Consideremos una cuerda infinita, con una forma inicial dada por la función F(x) y con velocidad inicial nula, G(x)=0. En color azul, se muestra F(x+ct), que se propaga hacia la izquierda y en color rojo F(x-ct) que se propaga hacia la derecha.
• Consideremos una cuerda infinita, sin deformar F(x)=0. Los puntos de la cuerda tienen una velocidad inicial G(x). En la animación, en color azul, se muestra g(x+ct), que se propaga hacia la izquierda y en color rojo -g(x-ct) que se propaga hacia la derecha. En color negro, el promedio ψ(x,t).

Modelización y Superposición en Cuerdas de Longitud Finita

La modelización de cuerdas con longitudes limitadas introduce consideraciones adicionales.

• Sea una cuerda que se extiende a lo largo de la parte positiva del eje X, 0≤x<∞. La posición inicial del pulso es x0=2, la velocidad de propagación c=1.
• Sea una cuerda de longitud l, punzada. La línea de color rojo gruesa, muestra el desplazamiento inicial de los puntos de la cuerda F(x) de longitud l finita.
• Construimos la extensión antisimétrica -F(-x) (en color rojo fino). Copiamos F(x) y su extensión (color rojo) a uno y otro lado (color azul) infinitas veces.
• Con este código representamos la deformación inicial de la cuerda de longitud l.
• Con este código dibujamos la extensión antisimétrica de F(x) y la función F*(x) de dominio infinito y periodo 2l.

La superposición de armónicos da lugar a una serie infinita convergente, basta un número relativamente pequeño de términos para respresentar el estado de la cuerda en un instante dado t. Una cuerda sin deformar en el instante t=0, ψ(x,0)=0, se golpea con un martillo de ancho 2w<

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Comparamos ambas soluciones en el instante t=1/2. Comparamos ambas soluciones en el instante t=1.

El Concepto de Fase en las Ondas Periódicas

En determinados estamentos se da mucha importancia al concepto de fase. El concepto de fase no es en sí mismo complicado. La palabra fase suele emplearse habitualmente para indicar cada uno de los distintos estados sucesivos de un fenómeno natural (o histórico). Decimos habitualmente, pero hemos de ser conscientes de que no siempre para evitar errores. Así, por ejemplo, también se llama fase a una parte homogénea con límites bien definidos de un sistema heterogéneo, un concepto que, si bien tiene su origen en el uso habitual (el agua solida al calentarse pasa sucesivamente a una fase líquida y después a una fase vapor, por ejemplo), es un concepto actualmente independiente de la idea de estado sucesivo.

El concepto de fase es fundamental para entender el funcionamiento de una onda periódica. El siguiente diagrama representa una onda periódica que pasa a través de un medio. En él aparecen marcados conjuntos de puntos que se mueven «a la vez y de la misma forma» a medida que pasa la onda periódica.

• Los puntos cresta C y C’ han alcanzado posiciones máximas hacia arriba.
• Los puntos valle D y D’ han alcanzado posiciones máximas hacia abajo.
• Los puntos C y C’ tienen desplazamientos y velocidades idénticos en cualquier instante de tiempo.
• Sus vibraciones son idénticas y van al unísono.
• Lo mismo ocurre con los puntos D y D’.

De hecho hay infinitos pares de puntos a lo largo del medio que vibran de manera idéntica cuando pasa esta onda. Démonos cuenta de que C y C’ están separados una distancia igual a una longitud de onda, λ, al igual que D y D’. Los puntos que se mueven al unísono, como C y C’, se dice que están en fase entre sí. Los puntos D y D’ también se mueven en fase. De hecho, los puntos separados entre sí por distancias de λ, 2λ, 3λ,. . . o, en general, nλ (siendo n cualquier número entero) están todos en fase entre sí. Estos puntos pueden estar en cualquier lugar (fase) a lo largo de la longitud de la onda. No necesitan corresponderse solo con los puntos más altos o más bajos. Así, puntos como P, P’, P», están todos en fase entre sí. Cada uno de estos puntos está separado por una distancia λ del siguiente que está en fase con él.

Por otro lado, también podemos ver que algunos pares de puntos están fuera de sincronía. Por ejemplo, el punto C alcanza su máximo desplazamiento hacia arriba al mismo tiempo que D alcanza su máximo desplazamiento hacia abajo. En el instante en que C comienza a bajar, D comienza a subir (y viceversa). Puntos como estos están medio período fuera de fase entre sí. C y D’ también están medio período fuera de fase. Cualquiera dos puntos separados entre sí por distancias de 1⁄2λ , 3/2λ , 5⁄2 λ, etc., están medio período fuera de fase.

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La Ecuación General de Onda Periódica

Si pretendemos representar una onda periódica y sus características en un plano XY, entonces la posición (x,y) de un punto cualquiera en función del tiempo, t, viene dada por la siguiente ecuación de onda: y(x, t) = A sen (ωt + kx + δ). Esta ecuación incluye varios parámetros fundamentales:

• A: es la amplitud.
• ω: es la velocidad angular dada por ω = 2π/T (donde T es el periodo).
• k: es el número de onda dado por k = 2π/λ.
• δ: el desfase.

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